EJERCICIOS DE ALGEBRA LINEAL

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Ejercicio 2. Axiomas y propiedades de espacios vectoriales. Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio correspondiente al ítem seleccionado en el ejercicio 1.

EJERCICIO A:

Dados los vectores 𝑢 = (−2,−3,−4) , 𝑣=(9,−3,1) y 𝑤 = (3,−6,2) verifique si se cumple los axiomas:

I) 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢

II) 𝑢 + (−𝑢) = (−𝑢) + 𝑢 = 0

III) 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) = (𝑢 + 𝑣) + 𝑤

EJERCICIO B

Dados los vectores 𝑢 = (−7, 12, 8) y 𝑣 = (−8, 1, 7) para 𝝀 = 7 y 𝛽= -3 verifique si se cumple los axiomas:

I) 𝜆 (𝑢 + 𝑣) = 𝜆𝑣 + 𝜆𝑢

II) 𝑢 + (−𝑢) = (−𝑢) + 𝑢 = 0

III) 𝜆(𝛽𝑣) = (𝜆𝛽) 𝑣

EJERCICIO C:

Dados los vectores

𝑢 = (−5, 8, 3) y 𝑣 = (9, −3, 8), y los escalares 𝜆 = −8 y 𝛽 = 2 verifique si se cumple los axiomas:

I) 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢

II) 𝜆 (𝑢 − 𝑣) = 𝜆𝑢 – 𝜆𝑣

III) 𝜆 (𝑢 − 𝑣) = 𝜆𝑢 – 𝜆𝑣

EJERCICIO E:

Dados los vectores 𝑢 = (−8, 2, 8), 𝑣 = (1, 8,-5) y 𝑤 = (-6, 8, 4) verifique si se cumple los axiomas:

I) 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢

II) 𝑢 + (−𝑢) = (−𝑢) + 𝑢 = 0

III) 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) = (𝑢 + 𝑣) + 𝑤

Ejercicio 3: Conjuntos Generadores, dependencia lineal e independencia lineal.

· Determine si el conjunto 𝑆 de vectores correspondiente es linealmente independiente. Si, para alguno de ellos la respuesta puede determinarse por inspección (esto es, sin cálculo), establezca por qué. Para cualquier conjunto que sea linealmente dependiente, encuentre una relación de dependencia entre los vectores.

EJERCICIO A:

· Determine si el conjunto 𝑆 genera a ℝ3

Conjunto 𝑺 a evaluar:

𝑆 = {(1, 1,1), (1,2,3), (1,−1,2)}

EJERCICIO B:

Determine si el conjunto 𝑆 genera a ℝ3

𝑆 = {(1,1,2), (2,1,3), (2,0,1)}

EJERCICIO C:

· Determine si el conjunto 𝑆 genera a ℝ3

Conjunto 𝑺 a evaluar:

𝑆 = {(1, 0, 0), (0,1,1), (0,0,0), (1,1,1)}

EJERCICIO E:

· Determine si el conjunto 𝑆 genera a ℝ3

Conjunto 𝑺 a evaluar:

𝑆 = {(1, 0,5), (0, 1, 2), (1,-1,3)}

· Ejercicio 4: Determinantes, Rango de una matriz, e Independencia lineal.

EJERCICIO A:

Dada la siguiente matriz:

Calcular el rango de la matriz 𝐶 por el método de Gauss-Jordán

Calcular el rango de la matriz 𝐶 por el método de determinantes

Determine si el conjunto formado por las columnas de la matriz 𝐶 es linealmente independiente.

EJERCICIO B:

Dada la siguiente matriz:

Calcular el rango de la matriz 𝐶 por el método de Gauss-Jordán

Calcular el rango de la matriz 𝐶 por el método de determinantes

Determine si el conjunto formado por las columnas de la matriz 𝐶 es linealmente independiente.

EJERCICIO C:

Dada la siguiente matriz:

Calcular el rango de la matriz 𝐶 por el método de Gauss-Jordán

Calcular el rango de la matriz 𝐶 por el método de determinantes

Determine si el conjunto formado por las columnas de la matriz 𝐶 es linealmente independiente.

EJERCICIO E:

Dada la siguiente matriz:

Calcular el rango de la matriz 𝐶 por el método de Gauss-Jordán

Calcular el rango de la matriz 𝐶 por el método de determinantes

Determine si el conjunto formado por las columnas de la matriz 𝐶 es linealmente independiente.

· Descripción del ejercicio 5 Cada estudiante debe desarrollar la demostración correspondiente al ítem seleccionado previamente:

EJERCICIO A:

Sean 𝒖 y 𝒘 vectores en ℝ3. Demuestre que

𝟒(𝒖 .𝒘)= ∥𝒖 + 𝒘∥𝟐− ∥𝒖− 𝒘∥𝟐

EJERCICIO C:

Sean 𝒖, 𝒗 y 𝒘 vectores en ℝ3.

Demuestre que 𝒖 × (𝒗 × 𝒘) = (𝒖 ∙ 𝒘) ∙ 𝒗 − (𝒖 ∙ 𝒗) ∙w

EJERCICIO E:

Sean 𝒖 y 𝒘 vectores en ℝ3. Demuestre que

2(𝒖 .𝒘) = ∥ 𝒖 + 𝒘 ∥ 𝟐− ∥ 𝒖 ∥^𝟐−∥ 𝒘 ∥^𝟐